Filtro de passagem média alta passada

Eu fiz meu próprio filtro passa-baixa em matlab, tomando uma média móvel dos dados do sinal. Mas se uma média móvel cria um filtro de passagem baixa, como exatamente um design uma equação para um filtro de passagem alta eu entendo a intuição sobre o uso de uma média para passe baixo (as altas freqüências serão médias para zero, mas as baixas freqüências serão médias para um Número próximo ao valor do sinal). Mas há alguma equação usada para o filtro de passagem alta pediu 27 de agosto 13 às 23:51 fechado como muito amplo por Andrew Barber 23 de maio 14 às 20:11 Há muitas respostas possíveis, ou boas respostas seriam muito longas para este formato . Por favor, adicione detalhes para restringir o conjunto de respostas ou para isolar um problema que pode ser respondido em alguns parágrafos. Se esta questão pode ser reformulada para se ajustar às regras na Central de Ajuda. Edite a pergunta. Há muitas equações para isso. Talvez a mais simples seja a função de diferença de atraso de uma amostra, ou, tomando sua transformada Z. Onde H (z) Y (z) X (z) é a equação do sistema para o filtro. Usando AudioLazy com MatPlotLib (Python), você pode ver um gráfico de resposta de freqüência para este filtro de passe alto digitando. (Divulgação: Eu sou o autor de AudioLazy) Você pode aplicá-lo a um sinal, também Resultando nas primeiras 7 amostras: O mesmo pode ser feito no GNU Octave (ou MatLab): esse é um filtro FIR em uma amostra de 6 amostras, Sinal periódico que decai de -33 amplitude de faixa para -22 em este exemplo. Se você tentar com um sinal de 12 amostras (freqüência mais baixa): agora o resultado é outra onda quadrada, mas na faixa de -11. Você deve tentar o mesmo com sinusoides, que são significativos para a resposta de freqüência e deve manter outro sinusoide como saída do filtro, com a mesma freqüência. Você também pode usar um ressonador na freqüência Nyquist, dando-lhe um filtro IIR. Existem vários outros filtros de design que podem ser feitos (por exemplo, Butterworth, Chebyshev, Elíptico), para diferentes necessidades. A fase mínima, a fase linear, a estabilidade do filtro e a minimização da amplitude da ondulação são alguns dos possíveis objetivos de projeto (ou restrições) que você pode ter ao projetar um filtro. Respondeu 28 de agosto 13 às 0:17 Um filtro de média móvel (1 z-1. Z - (M-1)) 47M precisa conhecer tanto a primeira metade e a metade do quotão segundo das amostras M que tira a média de, portanto, Precisa de um atraso de amostras M472 para torná-lo causal e centrado em qualquer coisa que tire a média de, além da necessidade de atrasos até z - (M-1). Ndash H. D. 29 de agosto de 13 em 3: 59 Um filtro de média móvel mede uma série de amostras de entrada e produz uma amostra de saída única. Essa ação de média remove os componentes de alta freqüência presentes no sinal. Os filtros médios móveis são normalmente usados ​​como filtros de passagem baixa. No algoritmo de filtragem recursiva, amostras de saída anteriores também são tomadas para a média. Um filtro médio móvel mede um número de amostras de entrada e produz uma amostra de saída única. Essa ação de média remove os componentes de alta freqüência presentes no sinal. Os filtros médios móveis são normalmente usados ​​como filtros de passagem baixa. No algoritmo de filtragem recursiva, amostras de saída anteriores também são tomadas para a média. Esta é a razão pela qual sua resposta ao impulso se estende até o infinito. Como usar o programa de exemplo O arquivo. zip contém código fonte e executável. Para compilar e executar o código-fonte, você precisa ter o Visual Basic 6.0 instalado no seu computador. Para executar o executável, você deve baixar e instalar arquivos de tempo de execução do Visual Basic 6.0. Execute movavgfilt. exe e você verá a janela principal. Na janela principal. A maior parte é o gerador de funções. Que produz diferentes formas de onda para testar o filtro. Podemos alterar de forma interativa a amplitude, a freqüência e a forma do sinal gerado. Para testar o programa, devemos primeiro gerar uma forma de onda apropriada. Aqui vamos gerar uma forma de onda complexa que consiste em duas freqüências diferentes. Deixe tudo em configurações padrão e clique no botão quotgeneratequot. Agora você pode ver um sinal de 10 Hz no gráfico ao lado do gerador de sinal. A figura abaixo mostra a forma de onda. Agora altere a frequência para 100 Hz e clique no botão quotgeneratequot novamente. A forma de onda recém-gerada é adicionada à forma de onda existente e a forma de onda resultante parece uma onda de pecado de 10 Hz com ruído de 100 Hz. Veja a forma de onda abaixo. Esta forma de onda é mais adequada para testar o filtro, pois contém duas freqüências diferentes. Você pode executar o filtro clicando no botão quotFilterquot. A partir das opções disponíveis para o botão Quiloper. Você pode escolher Filtragem recursiva, não recursiva ou sem filtragem. A figura abaixo mostra a saída do filtro. Download Transferir Filtro Médio Filtro códigoLectura 12: Filtragem Tópicos abordados: Relação com a propriedade de convolução da transformada de Fourier Filtros seletivos de freqüência ideais e não ideais: características de domínio de frequência e domínio do tempo Filtros seletivos de freqüência de tempo contínuo descritos por equações diferenciais RC baixas Filtros pass-pass e high-pass Filtros seletivos de frequência de tempo discreto descritos por equações de diferença Filtros médios em movimento Filtros de tempo discreto recursivo Demonstração: uma olhada na filtragem em uma sala comercial de controle de áudio. Instrutor: Prof. Alan V. Oppenheim Palestra 1: Introdução Aula 2: Sinais e Sistemas. Aula 3: Sinais e sistemas. Palestra 4: Convolução Palestra 5: Propriedades de Li. Palestra 6: Systems Represen. Aula 7: Tempo contínuo. Palestra 8: Tempo contínuo. Palestra 9: Fourier Transfor. Palestra 10: Tempo Discreto F. Palestra 11: Tempo Discreto F. Aula 12: Filtração Palestra 13: Tempo Contínuo. Palestra 14: Demonstração o. Aula 15: Tempo discreto M. Palestra 16: Amostragem Palestra 17: Interpolação Palestra 18: Tempo discreto P. Palestra 19: Tempo discreto S. Palestra 20: The Laplace Tra. Aula 21: Tempo contínuo. Palestra 22: The z-Transform Lecture 23: Mapping Continuous. Palestra 24: Butterworth Fil. Palestra 25: Feedback Palestra 26: Feedback Exampl. Recursos relacionados O seguinte conteúdo é fornecido sob uma licença Creative Commons. Seu apoio ajudará o MIT OpenCourseWare a continuar oferecendo gratuitamente recursos educacionais de alta qualidade. Para fazer uma doação ou ver materiais adicionais de centenas de cursos do MIT, visite MIT OpenCourseWare em ocw. mit. edu. PROFESSOR: Ao discutir as transformações de Fourier de tempo contínuo e discreto, desenvolvemos uma série de propriedades importantes. Dois particularmente significativos, como eu mencionei na época, são a propriedade de modulação e a propriedade de convolução. Começando com a próxima palestra, a seguir a uma, bem, seja desenvolvendo e explorando algumas das conseqüências da propriedade de modulação. No entanto, na palestra de hoje, eu gostaria de rever e expandir a noção de filtragem, que, como eu mencionei, flui mais ou menos diretamente da propriedade da convolução. Para começar, deixe-me apenas rever rapidamente o que é a propriedade da convolução. Tanto para tempo contínuo quanto para tempo discreto, a propriedade de convolução nos diz que a transformada de Fourier da convolução de duas funções de tempo é o produto das transformações de Fourier. Agora, o que isso significa em termos de filtros lineares invariantes do tempo, pois sabemos que no domínio do tempo a saída de um filtro linear invariante no tempo é a convolução da entrada e a resposta ao impulso, ele diz essencialmente no domínio da frequência Que a transformada de Fourier da saída é o produto da transformada de Fourier da resposta de impulso, a saber, a resposta de freqüência e a transformada de Fourier da entrada. Portanto, a saída é descrita através desse produto. Agora, lembre-se também que, ao desenvolver a transformada de Fourier, interpretei a transformada de Fourier como a amplitude complexa de uma decomposição do sinal em termos de um conjunto de exponenciais complexos. E a resposta de freqüência ou a propriedade de convolução, de fato, nos diz como modificar as amplitudes de cada uma dessas exponenciais complexas à medida que passam pelo sistema. Agora, isso levou à noção de filtragem, onde o conceito básico era que, uma vez que podemos modificar as amplitudes de cada um dos componentes exponenciais complexos separadamente, podemos, por exemplo, reter alguns deles e eliminar totalmente outros. E esta é a noção básica de filtragem. Então, como você se lembra, temos, antes de tudo, a noção de tempo contínuo de um filtro ideal, por exemplo, ilustrar aqui um filtro de passagem baixa ideal onde passamos exatamente componentes de freqüência em uma banda e rejeitamos componentes totalmente de freqüência em outra banda. A banda foi passada, é claro, referida como a banda passante, e a banda rejeitou como a banda de parada. Eu ilustrai aqui um filtro de passagem baixa. Podemos, naturalmente, rejeitar as baixas frequências e reter as altas freqüências. E isso corresponde a um filtro highpass ideal. Ou podemos apenas reter as frequências dentro de uma banda. E então mostro abaixo o que é referido comumente como um filtro de passagem de banda. Agora, isso é o que os filtros ideais pareciam por tempo contínuo. Por tempo discreto, temos exatamente a mesma situação. Ou seja, temos um filtro de passagem baixa de tempo discreto ideal, que passa exatamente as freqüências que são as baixas freqüências. Frequências baixas, é claro, sendo em torno de 0, e devido à periodicidade, também em torno de 2pi. Mostramos também um filtro highpass ideal. E um filtro highpass, como eu indiquei a última vez, passa freqüências em torno de pi. E, por fim, abaixo, mostro um filtro de passagem de banda ideal que passa freqüências em algum lugar na faixa entre 0 e pi. E lembre-se também de que a diferença básica entre o tempo contínuo, um tempo discreto para esses filtros, é que as versões de tempo discreto são, obviamente, periódicas em freqüência. Agora, vamos olhar esses filtros ideais e, em particular, o filtro lowpass ideal no domínio do tempo. Nós temos a resposta de freqüência do filtro passa-baixa ideal. E mostrado abaixo é a resposta ao impulso. Então, aqui está a resposta de freqüência e abaixo da resposta de impulso do filtro passa-baixa ideal. E isso, é claro, é uma forma de resposta de impulso de seno x sobre x. E reconhecer também ou lembrar que, uma vez que esta resposta de freqüência é de valor real, a resposta ao impulso, em outras palavras, a transformada inversa é uma função uniforme do tempo. E observe também, uma vez que quero referir-me a isso, que a resposta de impulso de um filtro passa-baixo ideal, de fato, não é causal. Isso segue, entre outras coisas, do fato de que é uma função par. Mas tenha em mente, de fato, que uma função sine x over x vai para o infinito em ambas as direções. Portanto, a resposta ao impulso do filtro passa-baixa ideal é simétrica e continua a ter cauda para mais e menos infinito. Agora, a situação é basicamente a mesma no caso do tempo discreto. Vamos olhar a resposta de freqüência e a resposta de impulso associada para um filtro de passagem baixa de tempo discreto ideal. Então, mais uma vez, aqui está a resposta de freqüência do filtro passa-baixa ideal. E abaixo do que mostro a resposta de impulso. Mais uma vez, é um tipo sine x over x de resposta de impulso. E, novamente, reconhecemos que, dado que no domínio da freqüência, essa resposta de freqüência é de valor real. Isso significa, como conseqüência das propriedades da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier, que a resposta ao impulso é uma função par no domínio do tempo. E também, aliás, a função sine x over x vai para o infinito, novamente, em ambas as direções. Agora, falamos sobre filtros ideais nesta discussão. E os filtros ideais são, de fato, ideais em certo sentido. O que eles fazem idealmente é que eles passam exatamente uma faixa de freqüências e rejeitam uma faixa de freqüências exatamente. Por outro lado, existem muitos problemas de filtragem em que, geralmente, não temos uma distinção nítida entre as freqüências que queremos passar e as freqüências que queremos rejeitar. Um exemplo disso é elaborado no texto é o design de um sistema de suspensão automotiva, que, de fato, é o design de um filtro de passagem baixa. E, basicamente, o que você quer fazer em um caso como esse é filtrar ou atenuar variações de rotas muito rápidas e manter as variações menores, é claro, elevação da rodovia ou da estrada. E o que você pode ver intuitivamente é que não há realmente uma distinção muito nítida ou um corte nítido entre o que você ligaria lógicamente as baixas freqüências e o que você chamaria de altas freqüências. Agora, também um pouco relacionado com isso, é o fato de que, como se viu no domínio do tempo, esses filtros ideais possuem um caráter muito particular. Por exemplo, vamos olhar para o filtro passa-baixa ideal. E vimos a resposta do impulso. A resposta ao impulso é o que tínhamos mostrado aqui. Vamos agora olhar para a resposta gradual do filtro discreto de passagem baixa ideal. E observe o fato de que ele tem uma cauda que oscila. E quando o passo atinge, na verdade, ele tem um comportamento oscilatório. Agora, exatamente a mesma situação ocorre em tempo contínuo. Vamos ver a resposta gradual do filtro passa-baixa ideal de tempo contínuo. E o que vemos é que, quando um passo atinge, na verdade, nós conseguimos uma oscilação. E muitas vezes, essa oscilação é algo que é indesejável. Por exemplo, se você estivesse projetando um sistema de suspensão automotivo e você atingiu uma curva, o que é uma entrada gradual, na verdade, você provavelmente não gostaria que o automóvel oscilasse, morrendo em oscilação. Agora, há outro ponto muito importante, o que, novamente, podemos ver em tempo contínuo ou discreto, o que é mesmo se quisermos que ele tenha um filtro ideal, o filtro ideal tem outro problema se quisermos tentar implementar Em tempo real. Qual é o problema O problema é que, uma vez que a resposta ao impulso é uniforme e, de fato, tem caudas que vão para mais e menos infinito, não é causal. Então, se, de fato, queremos criar um filtro e o filtro é restrito para operar em tempo real, então, de fato, não podemos criar um filtro ideal. Então, o que isso diz é que, na prática, embora os filtros ideais sejam bons para pensar e talvez se relacionem com problemas práticos, mais tipicamente o que consideramos são filtros não-ideais e, no caso discreto, um filtro não-temporal, então teríamos uma característica Um pouco como Ive indicado aqui. Onde, em vez de uma transição muito rápida da passband para stopband, haveria uma transição mais gradual com uma freqüência de corte da banda passante e uma freqüência de corte da banda de parada. E talvez também em vez de ter uma característica exatamente plana na faixa de parada na banda passante, nós permitiremos uma certa quantidade de ondulação. Nós também temos exatamente a mesma situação em tempo contínuo, onde aqui também simplesmente mudamos nosso eixo de freqüência para um eixo de freqüência contínuo em vez do eixo discreto de freqüência. Mais uma vez, pensamos em termos de uma ondulação de banda passante permitida, uma transição de banda passada para stopband com uma freqüência de corte de banda passante e uma freqüência de corte de banda de parada. Então, a noção aqui é que, novamente, os filtros ideais são ideais em alguns aspectos, não são ideais em outros aspectos. E por muitos problemas práticos, talvez não os desejemos. E mesmo que as desejássemos, talvez não possamos obtê-los, talvez por causa dessa questão de causalidade. Mesmo que a causalidade não seja um problema, o que acontece no design e implementação de filtros, de fato, é que quanto mais você tentar reduzir o corte, mais caro, em certo sentido, o filtro se torna, em termos de componentes, em contínuo - hora, ou em termos de computação em tempo discreto. E, portanto, há toda essa variedade de questões que realmente tornam importante entender a noção de filtros não usuais. Agora, apenas para ilustrar como exemplo, deixe-me lembrá-lo de um exemplo do que, na verdade, é um filtro passa-baixa não-ideal. E nós examinamos anteriormente a equação diferencial associada. Deixe-me agora, de fato, relacioná-lo a um circuito e, em particular, a um circuito RC, onde a saída pode ser através do capacitor ou a saída pode ser através do resistor. Então, de fato, temos dois sistemas aqui. Temos um sistema, que é a função do sistema a partir da entrada da fonte de tensão para a saída do capacitor, o sistema da entrada da fonte de tensão para a saída do resistor. E, de fato, apenas aplicando a Lei de Tensão de Kirchhoff para isso, podemos relacioná-los de maneira muito direta. É muito direto verificar se o sistema de entrada para saída de resistência é simplesmente o sistema de identidade com o resultado do capacitor subtraído dele. Agora, podemos escrever a equação diferencial para qualquer um desses sistemas e, como falamos sobre a última vez nas últimas palestras, resolva essa equação usando e explorando as propriedades da transformada de Fourier. E, de fato, se olharmos para a equação diferencial relativa à saída do capacitor para a entrada da fonte de tensão, reconhecemos que este é um exemplo que, de fato, foi resolvido anteriormente. E assim, apenas trabalhando nosso caminho para baixo, aplicando a transformada de Fourier na equação diferencial e gerando a função do sistema, levando a proporção da tensão do capacitor ou a sua transformada de Fourier para a transformada de Fourier da fonte, então temos a função do sistema associada à Sistema para o qual a saída é a tensão do capacitor. Ou se resolvemos em vez disso para a função do sistema associada à saída do resistor, podemos simplesmente subtrair H1 da unidade. E a função do sistema que recebemos naquele caso é a função do sistema que eu mostro aqui. Então, temos agora duas funções do sistema, uma para a saída do capacitor, e a outra para a saída do resistor. E um, o primeiro, correspondente à saída do capacitor, de fato, se o traçamos em uma escala de amplitude linear, parece assim. E como você pode ver, e como vimos na última vez, é uma aproximação a um filtro de passagem baixa. É, de fato, e filtro de passagem baixa não usual, enquanto que a saída do resistor é uma aproximação de um filtro de passagem alta, ou de fato, um filtro de passagem alta não-ideal. Então, em um caso, apenas comparando os dois, temos um filtro de passagem baixa como a saída do capacitor associada à saída do capacitor e um filtro de passagem alto associado à saída do resistor. Vamos ver rapidamente esse exemplo agora, olhando para um gráfico Bode, em vez de na escala linear que mostramos antes. E lembre-se incidentalmente, e fique atento, aliás, do fato de que podemos, claro, distribuir vários filtros deste tipo e melhorar as características. Então eu mostrei na parte superior um gráfico Bode da função do sistema associada à saída do capacitor. É plano para uma frequência correspondente a 1 na constante de tempo, RC. E então cai em 10 dB por década, uma década sendo um fator de 10. Ou se, em vez disso, olhamos para a função do sistema associada à saída do resistor, que corresponde a um aumento de 10 dB por década em freqüência até aproximadamente o recíproco Da constante de tempo, e depois aproximando-se de uma característica plana depois disso. E se considerarmos qualquer um destes, olhando novamente no filtro de passagem baixa, se houvéssemos cascatear vários filtros com essa resposta de freqüência, então, porque temos coisas plotadas em um gráfico Bode, o gráfico Bode para a cascata simplesmente seria somado estes. E, portanto, se nós, em cascata, por exemplo, dois estágios em vez de um roll-off em 10 dB por década, ele iria rolar em 20 dB por década. Agora, filtros neste tipo, os filtros RC, talvez vários deles em cascata, são de fato muito prevalentes. E de fato, em um ambiente como este, onde, de fato, estavam fazendo gravação, vemos que há filtros desse tipo que aparecem muito comumente na parte de áudio e vídeo do processamento de sinal que está associado a fazer este conjunto De fitas. Na verdade, vamos dar uma olhada na sala de controle. E o que eu poderia mostrar na sala de controle é a parte de áudio do processamento que é feito e os tipos de filtros, muito do tipo do qual acabamos de falar, que estão associados ao processamento de sinal feito na preparação do áudio Para as fitas. Então, vamos caminhar até a sala de controle e ver o que vemos. Esta é a sala de controle utilizada para a mudança de câmera. É usado para edição de computadores e também controle de áudio. Você pode ver os monitores, e estes são usados ​​para a troca da câmera. E este é o console de edição do computador que é usado para edição de computador on-line e off-line. O que eu realmente quero demonstrar, porém, no contexto da palestra é o painel de controle de áudio, que contém, entre outras coisas, uma variedade de filtros para freqüências altas, baixas freqüências, e outros, basicamente filtros de equalização. E o que temos no caminho da filtragem é, em primeiro lugar, o que é chamado de equalizador gráfico, que consiste em um conjunto de filtros passa-banda, que descrevo um pouco com mais cuidado em um minuto. E então também, um painel de controle de áudio, que está aqui embaixo e que contém circuitos de equalizador separados para cada um de um conjunto completo de canais e também muitos controles sobre eles. Bem, deixe-me começar na demonstração ao demonstrar um pouco o que o equalizador gráfico faz. Bem, o que temos é um conjunto de filtros de passagem de banda. E o que é indicado aqui são as frequências centrais dos filtros e, em seguida, um interruptor deslizante para cada um que nos permite atenuar ou amplificar. E esta é uma escala de dB. Então, essencialmente, se você olhar através deste banco de filtros com a saída total do equalizador apenas sendo a soma das saídas de cada um desses filtros, curiosamente a posição do controle deslizante muda quando você se move por aqui, de fato, mostra o que A resposta de freqüência do equalizador é. Então, você pode alterar a configuração geral do filtro, movendo os interruptores para cima e para baixo. Agora o equalizador está fora. Coloque o equalizador no circuito. E agora coloco essa característica de filtragem. E o que eu gostaria de demonstrar é filtrar com isso, quando fazemos coisas que são um pouco mais dramáticas do que o que normalmente seria feito em uma configuração típica de gravação de áudio. E para fazer isso, adicione a minha voz algumas músicas para torná-la mais interessante. Não é que minha voz não é interessante como ela é. Mas, em qualquer caso, vamos trazer algumas músicas. E agora o que eu faço é definir as baixas frequências planas. E deixe-me tirar as altas freqüências acima de 800 ciclos. E agora, o que temos, efetivamente, é um filtro de passagem baixa. E agora com o filtro lowpass, deixe-me agora trazer os altos de volta. E assim estou trazendo esses filtros de passagem de banda. E agora deixe-me cortar os mínimos. E você vai ouvir os baixos desaparecer e, de fato, manter os máximos efetivamente, o som, a voz ou a música. E, finalmente, deixe-me voltar a 0 dB de equalização em cada um dos filtros. E o que eu também faço agora é tirar o equalizador do circuito totalmente. Agora, dê uma olhada no painel de controle do mestre de áudio. E este painel tem, naturalmente, para cada canal e, por exemplo, o canal que estava trabalhando, de um controle de volume. Posso diminuir o volume, e posso aumentar o volume. E também tem, para este circuito de equalizador particular, um conjunto de três filtros de passa-banda e botões que nos permitem colocar até um ganho de até 12 dB ou atenuação de 12 dB em cada uma das bandas e também um seletor que nos permite Selecione o centro da banda. Então, deixe-me mais uma vez demonstrar um pouco com isso. E vamos aproximar este painel. Então, o que temos, como eu indiquei, são três filtros de passagem de banda. E esses botões que eu estou apontando aqui são controles que nos permitem para cada um dos filtros colocar até um ganho de até 12 dB ou uma atenuação de 12 dB. Há também com cada um dos filtros um seletor que nos permite ajustar a freqüência central do filtro. Basicamente, é um interruptor de duas posições. Além disso, como você pode ver, é um botão que nos permite colocar ou igualar a equalização. Atualmente, a equalização está fora. Vamos colocar a equalização. Não ouviremos nenhum efeito disso, porque os controles de ganho estão todos ajustados em 0 dB. E eu vou querer ilustrar em breve o efeito destes. Mas antes que eu faça, deixe-me chamar a atenção para um outro filtro, que é esse interruptor branco. E este interruptor é um filtro de passagem alta que essencialmente corta freqüências abaixo de cerca de 100 ciclos. Então, o que isso significa é que, se eu colocar esta opção, tudo é mais ou menos plano acima de 100 ciclos. E o que isso serve para, basicamente, é eliminar o ruído de 60 ciclos, se isso estiver presente, ou algum zumbido de baixa freqüência ou qualquer outra coisa. Bem, nós realmente não demonstramos nada com isso. Vamos agora com a equalização, demonstre o efeito de aumentar ou atenuar as freqüências baixas e altas. E, novamente, penso em demonstrar isso, ilustra o ponto o melhor se tivermos uma pequena música de fundo. Então, maestro, se você pode trazer isso. E agora, o que eu vou fazer é primeiro impulsionar as baixas frequências. E isso é o que este botão do potenciômetro fará. Então, agora, aumentando o ganho de baixa freqüência e, de fato, até 12 dB quando eu tiver o botão até onde eu fui aqui. E assim tem um som muito bassy. E na verdade, podemos torná-lo ainda mais baixo, levando as altas freqüências e atenuando as de 12 dB. Certo bem, vamos colocar algumas das altas freqüências de volta. E agora, gire o ganho de baixa freqüência primeiro para baixo para 0. E agora estavam de volta à equalização plana. E agora posso reduzir o ganho de baixa freqüência para que atenuem as baixas freqüências em até 12 dB. E é aí que estamos agora. E, portanto, isso tem, é claro, um som muito mais nítido. E para aumentar ainda mais as alturas, eu posso, além de cortar os mínimos, aumentar as altas colocando, novamente, até 12 dB. OK bem, baixe a música agora e volte para sem equalização configurando esses botões para 0 dB. E na verdade, podemos tirar o equalizador. Bem, isso é um rápido olhar para alguns filtros do mundo real. Agora vamos parar de nos divertir muito, e vamos voltar para a palestra. OK, isso é um pouco atrás das cenas. O que gostaria de fazer agora é voltar nossa atenção para filtros de tempo discreto. E como eu quis dizer em palestras anteriores, existem basicamente duas classes de filtros de tempo discreto ou equações de diferença de tempo discreto. Uma classe é encaminhada para um filtro não recursivo ou em média móvel. E a idéia básica com um filtro de média móvel é algo que talvez você esteja familiarizado com intuitivamente. Pense na noção de tomar uma seqüência de dados, e vamos supor que o que queríamos fazer foi aplicar algum alisamento para a seqüência de dados. Poderíamos, por exemplo, pensar em tomar pontos adjacentes, em média juntos e, em seguida, mover essa média ao longo da seqüência de dados. E o que você pode ver de forma intuitiva é que isso iria aplicar algum alisamento. Então, de fato, a equação de diferença, digamos, para a média móvel de três pontos seria a equação de diferença que eu indicar aqui, simplesmente tomando um ponto de dados e os dois pontos de dados adjacentes e formando uma média desses três. Então, se pensarmos no processamento envolvido, se formassem um valor de seqüência de saída, tomaríamos três pontos adjacentes e os calcularíamos. Isso nos daria a saída adicionar o tempo associado. E, em seguida, para calcular o próximo ponto de saída, simplesmente deslizaremos isso em um ponto, em média, juntos, e isso nos daria o próximo ponto de saída. E continuamos, simplesmente deslizando e fazendo a média para formar a seqüência de dados de saída. Agora, esse é um exemplo do que normalmente é referido em uma média móvel de três pontos. Na verdade, podemos generalizar essa noção de várias maneiras. Uma maneira de generalizar a noção de uma média móvel da média móvel de três pontos, que eu resumi novamente aqui, é pensar em estender isso para um número maior de pontos e, de fato, aplicar pesos a isso como eu indiquei aqui, então Isso, além de apenas resumir os pontos e dividir pelo número de pontos somados, podemos, de fato, aplicar pesos individuais aos pontos para que seja o que é muitas vezes referido como uma média móvel de ponderação. E mostra abaixo uma curva possível que pode resultar, onde estes serão essencialmente os pesos associados a esta média móvel ponderada. E, de fato, é fácil verificar se isso realmente corresponde à resposta de impulso do filtro. Bem, apenas para cimentar essa noção, deixe-me mostrar um exemplo ou dois. Aqui está um exemplo de uma média móvel de cinco pontos. Uma média móvel de cinco pontos teria uma resposta de impulso que consiste apenas em um retângulo de comprimento cinco. E se isso for convolvido com uma seqüência de dados, isso corresponderia a cinco pontos adjacentes e, efetivamente, a média deles. Nós observamos anteriormente a transformada de Fourier dessa seqüência retangular. E a transformada de Fourier, de fato, é na forma de um sine n x sobre a curva seno x. E, como você pode ver, essa é uma aproximação a um filtro de passagem baixa. E assim, novamente, é a resposta de impulso e resposta de freqüência de um filtro passa-baixa não-ideal. Agora, há uma variedade de algoritmos que, de fato, lhe dizem como escolher os pesos associados a uma média móvel ponderada para, em algum sentido, conceber melhores aproximações e sem entrar nos detalhes de nenhum desses algoritmos. Deixe-me apenas mostrar o resultado da escolha dos pesos para o projeto de um filtro de média móvel de 251 pontos, onde os pesos são escolhidos usando um algoritmo ótimo para gerar um corte mais nítido que possivelmente possa ser gerado. E então, o que mostro aqui é a resposta de freqüência do filtro resultante em uma escala de amplitude logarítmica e uma escala de freqüência linear. Observe que nesta escala, a banda passadeira é muito plana. Embora aqui seja uma visão expandida disso. E, na verdade, tem o que é referido como uma característica de ondulação igual. E então, aqui está a banda de transição. E aqui temos que parar a banda, o que, de fato, caiu um pouco mais do que 80 dB e, novamente, tem o que é referido como uma característica de ondulação igual. Agora, a noção de uma média móvel para filtragem é algo que é muito usado. Eu tinha mostrado a última vez o resultado de alguma filtragem em uma sequência de dados específica, o Dow Jones Industrial Average. E muitas vezes, ao analisar vários tipos de publicações do mercado de ações, o que você verá é a média de Dow Jones mostrada em sua forma bruta como uma seqüência de dados. E então muito tipicamente, você também verá o resultado de uma média móvel, onde a média móvel pode estar na ordem do dia, ou pode ser por ordem de meses. Toda a noção é levar algumas das flutuações aleatórias de alta freqüência fora da média e mostrar a baixa freqüência, ou tendências, durante algum período de tempo. Então, de fato, volte para a média Dow Jones. E deixe-me mostrar-lhe agora qual seria o resultado da filtragem com um filtro de média móvel, na mesma sequência média industrial Dow Jones que mostrei na última vez. Então, mais uma vez, temos a média Dow Jones de 1927 a aproximadamente 1932. No topo, vemos a resposta de impulso para a média móvel. Mais uma vez, lembro-lhe uma escala de tempo expandida, e o que se mostra aqui é a média móvel com apenas um ponto. Portanto, a saída no rastreamento inferior é simplesmente idêntica à entrada. Agora, vamos aumentar o comprimento da média móvel para dois pontos. E vemos que há uma pequena quantidade de suavização, três pontos e apenas um pouco mais suavizado, que é inserido. Agora, uma média móvel de quatro pontos, e a próxima média móvel de cinco pontos, e uma média móvel de seis pontos em seguida. E vemos que o alisamento aumenta. Agora, vamos aumentar o comprimento do filtro de média móvel muito mais rapidamente e observar como a saída é cada vez mais suave em relação à entrada. Novamente, enfatizo que a escala de tempo para a resposta ao impulso é significativamente expandida em relação à escala de tempo tanto para a entrada como para a saída. E, mais uma vez, através da magia da filtragem, conseguimos eliminar o crash da Stock Market de 1929. Tudo bem, então vimos filtros de média móvel ou o que às vezes são referidos como filtros não recursivos. E são, como enfatizei, uma classe muito importante de filtros de tempo discreto. Outra classe muito importante de filtros de tempo discreto são o que são chamados de filtros recursivos. Os filtros recursivos são filtros para os quais a equação de diferença tem feedback da saída de volta para a entrada. Em outras palavras, a saída depende não apenas da entrada, mas também dos valores anteriores da saída. Assim, por exemplo, como eu já esclarecesse anteriormente, uma equação de diferença recursiva tem a forma geral que eu indicar aqui, uma combinação linear de saídas ponderadas no lado esquerdo e combinação linear de entradas ponderadas no lado direito. E como falamos, podemos resolver esta equação para a saída atual y de n em termos de entradas passadas e passadas e saídas passadas. Por exemplo, apenas para interpretar isso, concentre-se na interpretação deste como um filtro, olhamos para uma equação de diferença de primeira ordem, da qual falamos e geramos a solução anteriormente. Então, a equação da diferença de primeira ordem seria como eu indiquei aqui. E impondo uma causalidade sobre isso, de modo que assumimos que estamos executando isso como um recursivo no tempo, podemos resolver isso para y de n em termos de x de n e y de n menos 1 ponderado pelo fator a. E eu simplesmente indicar o diagrama de blocos para isso. Mas o que queremos examinar agora para esta recursão de primeira ordem é a resposta de freqüência e ver sua interpretação como um filtro. Well in fact, again, the mathematics for this weve gone through in the last lecture. And so interpreting the first order difference equation as a system, what were attempting to generate is the frequency response, which is the Fourier transform of the impulse response. And from the difference equation, we can, of course, solve for either one of those by using the properties, exploiting the properties, of Fourier transform. Applying the Fourier transform to the difference equation, we will end up with the Fourier transform of the output equal to the Fourier transform of the input times this factor, which we know from the convolution property, in fact, is the frequency response of the system. So this is the frequency response. And of course, the inverse Fourier transform of that, which I indicate below, is the system impulse response. So we have the frequency response obtained by applying the Fourier transform to the difference equation, the impulse response. And, as we did last time, we can look at that in terms of a frequency response characteristic. And recall that, depending on whether the factor a is positive or negative, we either get a lowpass filter or a highpass filter. And if, in fact, we look at the frequency response for the factor a being positive, then we see that this is an approximation to a lowpass filter, whereas below it I show the frequency response for a negative. And there this corresponds to a highpass filter, because were attenuating low frequencies and retaining the high frequencies. And recall also that we illustrated this characteristic as a lowpass or highpass filter for the first order recursion by looking at how it worked as a filter in both cases when the input was the Dow Jones average. And indeed, we saw that it generated both lowpass and highpass filtering in the appropriate cases. So for discrete-time, we have the two classes, moving average and recursive filters. And there are a variety of issues discussed in the text about why, in certain contexts, one might want to use one of the other. Basically, what happens is that for the moving average filter, for a given set a filter specifications, there are many more multiplications required than for a recursive filter. But there are, in certain contexts, some very important compensating benefits for the moving average filter. Now, this concludes, pretty much, what I want to say in detail about filtering, the concept of filtering, in the set of lectures. This is only a very quick glimpse into a very important and very rich topic, and one, of course, that can be studied on its own in an considerable amount of detail. As the lectures go on, what well find is that the basic concept of filtering, both ideal and nonideal filtering, will be a very important part of what we do. And in particular, beginning with the next lecture, well turn to a discussion of modulation, exploiting the property of modulation as it relates to some practical problems. And what well find when we do that is that a very important part of that discussion and, in fact, a very important part of the use of modulation also just naturally incorporates the concept and properties of filtering. Obrigado. Free Downloads